학급 대표 2명을 뽑을 때 나올 수 있는 경우의 수는

회장 1명, 부회장 1명 선발할 때와 상관없이 2명 뽑는 경우의 수 달라

국민들을 의견 알아보는 여론조사, 원·막대 그래프 등 활용 땐 이해 쉬워

개학과 함께 2학기 학급·전교 임원선거가 시작됩니다. 임원선거를 앞두고 학생들은 각기 조금씩 설레는 마음이 있을 것입니다. 선거에 출마하는 학생은 학급 또는 학교 대표로 역할을 하기 위해, 투표하는 학생은 한 학기 동안 학급과 학교를 잘 이끌어줄 대표에 더 적합한 사람을 뽑기 위해 말이지요.

임원선거를 할 때 대표로 나설 친구에 대한 의견이나 생각이 오고 가는 것처럼, 나라에서 국민을 대표해 일할 사람을 뽑는 대통령 선거, 국회의원 선거 등이 있을 때에도 ‘누구에게 투표하겠다’는 국민들의 의견이 모아집니다. 이렇듯 어떠한 사회적 현상이나 정치적 문제에 대해 국민들이 나타내는 의견을 ‘여론(與論)’이라 하고 그 의견이 어떤 것인지 알아보기 위해 실시하는 조사를 ‘여론조사’라고 합니다.

여론조사는 조사 과정에서 확률과 통계의 원리가 쓰일 뿐 아니라, 통계자료를 표나 그래프로 보여준다는 점에서도 수학과 밀접한 관계가 있습니다. 표와 그래프에 나타나 있는 통계적 사실과 정보를 읽고 해석하는 것 또한 수학의 한 부분으로, 실제로 초등 2학년부터 관련 내용을 배우기도 합니다(2학년 ‘표와 그래프’, 3학년 ‘자료의 정리’, 4학년 ‘막대그래프’와 ‘꺾은선그래프’, 5학년 ‘자료의 표현’, 6학년 ‘비율 그래프’).

여론조사는 TV나 신문을 통해 쉽게 접할 수 있는데, 그 예로 기사(한국일보 2015년 6월 9일자) 하나를 살펴 볼까요. 기사는 지난 6월 한국과 일본 두 나라 국민을 대상으로 양국에 대한 의견을 조사한 내용입니다. 오른쪽의 기사 본문이 통계자료를 자세하게 설명하고 해설을 담고 있는 반면, 왼쪽은 각각의 자료를 한눈에 보기 쉽도록 그래프로 나타냈습니다.

먼저, 1996년부터 한·일 양국 신뢰도가 어떤 비율로 변화했는지는 ‘꺾은선그래프’로 보여줍니다. 또한 역대 일본 총리의 과거사 사죄에 대한 의견, 향후 양국 관계에 대한 의견 등은 ‘막대그래프’로, 위안부 문제에 대한 일본 정부의 대처 평가는 ‘원그래프’로 정리한 것을 알 수 있습니다.

막대그래프는 자료별 수의 비교가 쉬운 반면에, 꺾은선그래프는 시간의 흐름에 따른 연속적인 변화를 알아보는 데 편리하고 조사하지 않은 값을 예상할 수 있다는 장점이 있습니다. 대신 막대그래프와 꺾은선그래프는 전체와 부분 사이의 관계를 비율로 비교하기는 어려워, 이 때는 원그래프로 값을 보여주는 것이 효과적입니다.

여론조사를 했다면 대표를 뽑을 ‘경우의 수’를 알아볼까요. 경우의 수란 ‘어떤 일이 일어날 수 있는 경우의 가짓수’를 일컫는 말로, 100원짜리 동전 한 개를 던질 때 그림 면이 나올 가능성과 숫자 면이 나올 가능성은 각각 반반이므로 1/2로 나타내는 것과 같습니다.

A, B, C 세 명의 후보 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑을 수 있는 경우의 수를 계산해 봅시다. 이 때 회장을 뽑는 경우의 수는 3가지이고, 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 뒤 부회장을 뽑는 경우의 수는 2가지로 (A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A), (C,B)로 나타낼 수 있습니다. 이를 식으로 나타내면 두 사건은 동시에 일어나므로 곱셈으로 계산하여 ‘3x2=6(가지)’의 결과를 얻게 됩니다.

앞의 경우와 달리, 회장, 부회장 상관없이 A, B, C 3명의 후보 중에서 학급 대표 2명을 뽑기만 하는 경우를 계산해 보겠습니다. 이 때는 (A,B)와 (B,A), (A,C)와 (C,A), (B,C)와 (C,B)가 결국 같은 결과이므로, 경우의 수는 (A,B), (A,C), (B,C)로 나타낼 수 있습니다. 이를 식으로 표현하면 중복되는 경우를 없애 ‘3x2x1/2x1=3(가지)’가 됩니다. 이는 중·고등의 조합, 순열 단원에서 심화하여 배우는 내용으로, 초등 단계에서는 그 기초 개념인 경우의 수를 이해하고 실생활에서 발견할 수 있는 간단한 경우의 수를 다양하게 생각해 보는 것이 중요합니다.

[스토리 플러스]

여론조사에 쓰이는 통계 용어를 알아봅시다. ‘모집단’은 어떤 집단을 통계적으로 관찰하여 조사할 때, 관찰의 대상이 되는 집단 전체를 뜻합니다. 집단 전체가 너무 방대하여 일일이 조사하기 어려운 경우 전체에서 일부를 추출해 조사하는데, 이 때 채택된 일부를 ‘표본’이라고 합니다. 표본과 모집단 사이의 차이를 ‘오차’라고 하며 ‘오차 범위’는 오차가 발생하는 값의 범위로, 오차 범위가 적을수록 조사 결과가 정확하다는 의미입니다. ‘신뢰수준’은 같은 조사를 진행할 경우 오차 범위 내 동일한 결과가 나올 가능성을 일컫는 말로, ‘신뢰수준 95%’는 해당 조사를 동일하게 100번 하면 오차 범위 내 같은 결과가 95번 나온다는 것을 의미합니다.

[문제 연습하기]

다음은 우리나라 사람들이 사용하는 휴대폰 종류를 조사하여 나타낸 원그래프입니다.

문제: LTE 스마트폰의 비율은 기타 비율의 몇 배인지 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내려고 합니다. 풀이 과정을 쓰고 답을 구하세요.

정답: 2.2배

풀이: 예) LTE 스마트폰은 44.3%이고 기타는 20.5%이므로 LTE 스마트폰은 기타의 44.3÷20.5=2.16···소수 둘째 자리에서 반올림하면 2.2(배)이다.

출처: 천재교육 ‘스토리텔링 해법수학 6-2’