수학자 피타고라스가 만든 8음계… 박자와 음표엔 비례ㆍ분수 원리가
요즘 학생들 사이에서는 가수를 꿈꾸는 친구들을 심심치 않게 볼 수 있습니다. 아이들이 일상에서 즐겁게 노래를 듣고 따라 부르듯이 수학도 재미있게 받아들인다면 얼마나 좋을까 고민하던 찰나, 피타고라스의 일화를 들여다보면 그런 접근이 어렵지만은 않아 보인다는 생각이 듭니다.
자신의 이름을 딴 ‘피타고라스의 정리’로 우리에게 익숙한 그리스 수학자 피타고라스는 수학 못지 않게 음악에도 조예가 깊어, 우리가 현재 사용하는 서양식 8음계(도ㆍ레ㆍ미ㆍ파ㆍ솔ㆍ라ㆍ시ㆍ도)를 최초로 만들었으며 옥타브와 화음의 원리를 밝히기도 했습니다. 평소 음(音)의 원리에 관심이 많았던 피타고라스는 어느 날 대장간에서 들려오는 망치 소리에서 영감을 얻어 음과 수학적 연관성을 연구하기 시작했습니다. 하프 연주로 실험한 결과, 하프의 줄이 짧을수록 높은 음을 내고 줄이 길수록 낮은 음을 낸다는 결론을 얻었습니다.
나아가 피타고라스는 모노 코드(Mono Code)라는 한 줄로 된 현의 길이로 처음 튕겼을 때의 소리와, 길이를 2/3로 줄인 현을 튕겼을 때의 소리를 비교했더니 길이가 짧은 현을 튕겼을 때는 5도 높은 음이 만들어진다는 것을 알아냈습니다. ‘도’와 ‘솔’처럼 조화를 이루는 것이지요. 또한 줄의 길이를 1/2로 줄인 현을 튕기면 처음보다 한 옥타브 높은 ‘도’음이라는 것도 알아내, 이를 토대로 8음계를 정리하게 된 것이지요. 소리에서 수학적 연관성을 찾고자 시도했던 그의 연구 결과인 ‘피타고라스의 음계’는 음향학의 출발로 기록됩니다.
악보를 펼쳐보면 음악과 수학이 결코 동떨어진 학문이 아니라는 사실을 한 번 더 경험할 수 있습니다. 노래를 듣거나 부를 때 정확한 음의 길이와 높이를 파악하기 위해 악보가 필요한데 그 시작 4분의 2박자(), 4분의 3박자(), 8분의 6박자() 등의 박자 표시가 있습니다. 이 때 초등 3학년 이상이면 이 박자 표시가 수학에서 ‘분수’와 생김새가 같다는 것을 금방 알아차릴 수 있을 것입니다.
수학에서 분수가 분모와 분자로 구성돼 ‘전체에 대한 부분’을 나타낸다면, 음악에서 박자 표시는 음악의 길이를 나타내는 기호입니다. 한 마디 안에 어떤 음표 몇 개가 들어가는 곡인지를 알 수 있도록 표기하는 것이지요. 예를 들어, 4분의 3박자()는 한 마디에 4분음표가 3개, 8분의 6박자()는 한 마디에 8분음표가 6개 들어간다는 뜻입니다.
악보에 있는 음표도 살펴봅시다. 온음표(), 2분음표(), 4분음표(), 8분음표() 등의 음표는 음의 길이와 높이를 표현하는 기호로, 이름에 따라 음의 길이도 각각 달라집니다. 음의 길이는 상대적이나 온음표의 길이를 1로 봤을 때 2분음표는 그의 1/2, 4분음표는 1/4, 8분음표는 1/8, 16분음표는 1/16이 됩니다. 즉, 온음표를 기준으로 1/2배씩 음의 길이가 줄어들며, 음표 앞의 수와 음의 길이는 반비례 관계인 것을 확인할 수 있습니다.
또한 음표의 머리 오른쪽에 점이 붙는 점음표도 있습니다. 점음표는 원래 음표에 그 음표 길이의 1/2만큼 더한 길이를 나타내는 것으로, 점2분음표()의 길이는 원래 음표인 2분음표()와 4분음표()를 더한 것과 같고, 점4분음표()의 길이는 4분음표()와 8분음표()를 더한 것과 같습니다.
우리가 음악을 접할 때마다 매번 수학적으로 박자를 쪼개고 계산할 수는 없겠지만, 음악과 수학의 연관성을 인지하는 것만으로도 풍성한 음악 감상은 물론 수학적 사고력을 키우는 데 큰 도움이 될 것이라 생각합니다.
김주민ㆍ스토리텔링연구회 전문연구원
[문제 연습하기]
문제: 박자가 다른 한 마디에 쉼표를 하나 넣으려고 합니다. 어느 마디에 어떤 쉼표를 넣으면 될지 구하세요.
정답: 2번째 마디, 8분 쉼표
풀이: 표시된 박자에 따라 각 마디 안에 있는 박자의 합을 계산하면, 첫째 마디는 ‘2+1++’, 셋째 마디는 ‘1+1+1+++’, 넷째 마디는 ‘++1+2’로 4박인데 둘째 마디는 ‘1+++++1’로 박이 더 있어야 4박이 됩니다. 박에 해당하는 쉼표는 8분쉼표입니다.
출처: 천재교육 ‘우등생 해법수학 4-1’
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