종이는 앞면과 뒷면이 있어서 앞면에 적힌 글을 읽은 뒤 반드시 뒤집어야 뒷면의 글을 읽을 수 있습니다. 종이를 뒤집지 않고 양면의 글을 연결해서 읽을 수는 없을까요? 물론 가능합니다. 앞면과 뒷면이 서로 통하게 만들면 되는 것이죠. 앞면과 뒷면이 서로 통한다는 것은 다르게 말하면 앞면과 뒷면이 구분이 없는, 즉 면이 하나 밖에 없는 도형을 만드는 것입니다. 이와 같은 도형을 뫼비우스의 띠라고 하는데요. 이것은 19세기 독일의 수학자 아우구스트 페르미난트 뫼비우스의 이름을 따 지은 것이랍니다.
그럼 원통형 띠와 뫼비우스의 띠를 만들어 비교해 보면서 뫼비우스의 띠가 무엇인지 함께 알아볼까요?
가로 25㎝, 세로 2㎝ 크기의 직사각형 종이 띠 두 장을 준비합니다. 먼저 직사각형 종이 띠 한 장은 원통모양으로 둥글게 만들어 붙이고, 보이는 면에 개미 스티커를 바로 뒷면에는 별 모양의 스티커를 붙입니다. 다른 직사각형 종이 띠는 둥글게 만든 후 한 쪽 끝을 180도 회전시켜 양끝을 서로 붙입니다. 그리고 띠의 한쪽 면에 개미 스티커를 붙이고 바로 뒷면에 별 모양의 스티커를 붙입니다.
두 띠에 있는 개미가 모서리를 지나지 않고 별과자를 먹으러 갈 수 있을지 아이와 함께 얘기해 보고 개미를 출발점으로 해서 연필을 대고 개미가 갈 길을 그려 봅니다.
원통모양의 개미는 겉의 면만 돌 수 있어 별과자를 먹을 수 없고 뫼비우스의 띠는 모든 면을 걸을 수 있으므로 별과자를 먹을 수 있습니다. 이 활동을 하면서 원통 모양의 띠는 안과 밖이 통하지 않고 뫼비우스의 띠는 안과 밖이 통하는 도형이란 것을 경험하게 해줍니다.
이제 뫼비우스의 띠를 만들어 봤으니 끝나지 않는 이야기의 작가가 되어 볼까요?
이번에는 가로 20㎝, 세로 2㎝ 크기의 직사각형 모양의 종이 띠를 한 장을 준비합니다. 직사각형 모양의 종이 띠 양쪽 끝 1㎝ 정도는 풀칠할 부분이므로 띄워 둡니다. 이 종이 띠의 앞면에 왼쪽부터 ‘여우는 배가 고파서 헤매다가 불이 켜진 집을 발견하였습니다. 똑’을 적고 이 종이 띠를 그대로 위로 뒤집어 뒷면에 왼쪽부터 ‘똑똑. 집주인은 문 두드리는 소리를 듣고 밖으로 내다보니 한 마리의’라고 적습니다. 글을 다 적은 종이 띠는 둥글게 만든 후 한 쪽 끝을 180도 회전시켜 양끝을 서로 붙입니다. 그리고 면을 따라 이야기를 읽어 봅니다. 어때요? 이야기가 끝없이 반복되죠?
끝없는 이야기를 만드는 방법을 이용해 아이들에게 자신만의 이야기를 생각해 새로운 뫼비우스 띠를 만들어 보도록 해 보세요.
뫼비우스 띠가 발견되기 전에는 사람들이 안과 밖은 서로 통할 수 없다고 생각했습니다. 그러나 뫼비우스는 이 고정관념을 깨고 안과 밖이 없는 띠를 만들어 안과 밖이 서로 연속적으로 통할 수 있다는 것을 증명했습니다. 언뜻 보면 간단한 방법인 것 같은데요. 이 띠의 발견은 우리 생활의 많은 부분에 도움을 주었습니다. 컨베이어 벨트나 재생시간을 배로 하는 루프녹음테이프 등 한 쪽만 사용하지 않고 모든 면을 사용함으로써 더 오래, 더 긴 시간 사용할 수 있도록 하여 실용성을 높여주었습니다. 이렇게 뫼비우스와 같이 고정관념을 깨고 새로운 것을 생각해 내는 것, 이것 또한 사고력이 기초가 돼야 함을 생각하며 즐겁게 공부할 수 있도록 아이들을 격려해 주세요. 또 뫼비우스의 띠가 실생활에 어떻게 사용되고 있는지 아이들과 함께 더 찾아보는 활동을 해 보는 것도 재미있겠죠?
이주향 소마사고력수학연구소 부연구소장
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