파스칼은 수학자이자 물리학자이고, 철학자이자 신학자이기도 하다. 파스칼이 남긴 업적은 많지만 유명한 수학적 업적 중 하나가 파스칼의 삼각형이다.
파스칼의 삼각형은 처럼 피라미드 모양으로 수를 나열한 것이다. 기본 규칙은 에서 보듯 위의 두 수의 합을 아래에 적는 것이다. 이때 수가 없는 자리는 0이 있다고 생각하면 모두 같은 규칙으로 수를 적을 수 있다. 얼핏 보면 간단한 규칙으로 피라미드 모양으로 수를 나열한 것에 그치지 않는다고 생각할 수 있지만 파스칼의 삼각형에는 많은 수학의 원리들이 숨어있다. 국립과천과학관에 가면 파스칼의 삼각형의 규칙을 알아볼 수 있는 공간이 따로 마련되어 있을 정도이다.
가령 경우의 수와 관련된 규칙을 살펴보자. 동전을 각각 1개, 2개, 3개 던질 때 앞면이 나올 수 있는 경우의 수를 살펴보자. 동전을 1개 던지면 앞면이 0개 나오는 경우의 수는 1, 앞면이 1개 나오는 경우의 수도 1이다. 동전을 2개 던지면 앞면이 0개 나오는 경우의 수가 1, 앞면이 1개 나오는 경우의 수가 2, 앞면이 2개 나오는 경우의 수가 1이다. 동전을 3개 던지면 앞면이 0개 나오는 경우의 수 1, 앞면이 1개 나오는 경우의 수 3, 앞면이 2개 나오는 경우의 수 3, 앞면이 3개 나오는 경우의 수 1이다.
동전이 없을 때 경우의 수를 1이라 하고, 위의 결과를 동전 개수에 따라 한 줄씩 적어나가면 신기하게도 파스칼의 삼각형이 만들어진다. 첫 행을 0행이라고 하는 이유를 이쯤이면 알 수 있다. 행의 번호는 바로 동전의 개수와 같다.
은 집과 학교 사이의 길을 나타내고, 집에서부터 각 교차로까지 최단거리로 가는 가짓수를 적은 것이다. 고등학교 수학에서는 최단거리의 가짓수를 조합을 이용하여 구하지만 초등학생은 경우의 수를 배우면서 각 교차로의 경우의 수를 더해 구한다. 그림을 회전시키면 각 교차로를 가는 경우의 수가 파스칼의 삼각형과 같음을 알 수 있다.
파스칼의 삼각형의 원리를 알아보고 여러 가지 경우의 수와 파스칼의 삼각형의 관계를 찾아보면 흥미롭다. 파스칼의 삼각형은 경우의 수 문제에서 검산 도구로 사용할 수도 있다.
천종현 소마사고력수학연구소장
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