이번 호의 테마는 ‘귀납적 추리와 수학적 귀납법의 차이’ 에 대한 문제로 일상생활에서 만날 수 있는 논증의 제시방법에 대해 우리가 어떠한 오류를 범하고 있으며, 또 어떻게 해야 논리적으로 옳은 주장을 전개할 수 있는가를 다루어 본다. 요즘 논술이 커다란 이슈가 되어가는 상황에서 논증을 합리적으로 전개하는 방법이 매우 중요하다는 취지에서, 기출문제로 주어진 예제를 통해 이를 다루어 보기로 한다.
<제시문>
영희와 철수는 ‘귀납적 추리’와 ‘수학적 귀납법’을 적용한 논증을 제시하려 하고 있다. 누가 어떤 논법을 적용하고 있는지 판단해 이들의 논증에 문제점이 있으면 지적하고, 각자의 주장을 정당화하기 위한 올바른 논법을 선택한 후 합리적인 논증을 제시하시오.
영희 : 태권도가올림픽정식종목으로채택된첫번째대회에서우리나라는한개이상의금메달을획득했지. 2004년올림픽의 태권도 종목에서한개이상의 금메달을 획득했기 때문에 다음 2008년올림픽의 태권도 종목에서도한개이상의 금메달을 획득할 것이 틀림없어. 마찬가지로 생각하면앞으로도 모든 올림픽의 태권도 종목에서 우리나라는한개이상의 금메달을 획득할거야.
철수 : 1부터 100까지의 자연수들의 합은 101을백번더해서 2로나눈 것과 같고, 1부터 1,000까지의 자연수들의 합은 1,001을 천 번 더해서 2로 나눈 것과 같고, 1부터 1만까지의 자연수들의합은 1만1을만번더해서 2로나눈 것과 같잖아. 이와 같이 모든 자연수 n에대해 1부터 n까지의 자연수들의 합은 n+1을 n번 더해서 2로 나눈 수와 같을 거야.
<문제해설>
영희의 논법은 수학적 귀납법의 논리를 적용하고 있다. 첫 번 대회에서 하나 이상의 금메달을 획득했고, 어느 올림픽에서 하나 이상의금메달을 획득하면 다음 올림픽에서도 하나이상의 금메달을 획득할 것이고, 이같이 모든올림픽에서 하나 이상의 금메달을 획득할 것으로주장하고 있다. 그러나 여기서한올림픽에서 금메달을 하나 이상 획득한다면 다음 올림픽에서도 금메달을 하나 이상 획득할 것이라는논리는 성립하지 않는다. 각올림픽에 참가
하는 선수 구성이 다르고또다른 나라가 올림픽에 어떻게 대처하느냐에 따라 우리나라의성적이 달라질 수 있기 때문이다. 이와 같이 절대 명제가 아닌 사실을 수학적 귀납법으로 증명하려 했기 때문에 무리가 생긴 것이다.
따라서 영희의 주장이 정당화되려면 귀납적추리의 방법을 써야 한다. 예를 들면“태권도종주국인 우리나라는 국민들의 태권도에 대한관심이 다른 나라들에 비해 높고, 선수층이아주두터우며 지도자들도 우수하다. 지난두번의 올림픽에서 거둔 성과는 이에 바탕하고 있다. 이러한 우위는 앞으로도 지속될 것이므로장래의올림픽에서도한개이상의금메달을딸것이다. 실제로지난번대회까지우리나라가금메달을따지못한경우는한번도없잖아?”
철수의 논법은 1부터 자연수 n까지의 합을구하는 방법을 유한한 사례를 통해 정당화하고 있으므로 귀납적 추리를 사용한 경우이다.
그러나 자연수의 집합은 무한집합이므로 유한의 사례에서 발견한 사실을 인과적 검토 없이무한집합의 모든 원소들에 그대로 적용한다는문제점이 있다. 즉철수가 증명하고자 하는것은 수학적 명제인데 이를 귀납적 추리를 이용하였으므로 옳지 못한 것이다. 따라서 철수의논법이 정당화되려면 다음과 같이 수학적 귀납법을 써야 한다.
1) 1부터 1까지의 합은 1+1을 더해서 2로나눈 것과 같다.
2) 1부터 n까지의 합이 n+1을 n번 더해서2로 나눈 것과 같다고 가정하자.
이 가정하에서 1부터 n+1까지의 합을 계산하면 n+2를 n+1번 더해서 이를 2로 나눈 것과같음을 보여주면 된다. 이렇게 하면 위의명제가 어떤 수에 대해 성립하면 반드시그다음수에서도 성립하게 되는데 1)에서 n이1일때
성립하는 것을 보여 주었으므로 2일 때도 성립할 것이고, 2에서 성립하였으므로 3에서도성립하게 되고, 이런 식으로 모든 자연수에대해 성립한다는 것을 알게 되는 것이다.
2)에서 1부터 n까지 더한 것은 인데 여기에 n+1을 더하면 1부터 n+1까지 더
한 경우가 된다. 그런데 그 결과를 보면이다. 따라서 이 식은 1부터 n+1까지의 합이 n+2를n+1번 더해서 2로 나눈 것과 같다는 것을 말해준다. 그러므로 철수는 귀납적 추리가 아닌수학적 귀납법을 사용해야만 옳은 주장을 할
수 있는 것이다.
김상국 이슈&논술 수리 논구술 대표
황용훈 이슈&논술 수리 논구술 선임연구원
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