<제시문 1>
자연상태에서 발생하는 소리는 아날로그 신호이다. 아날로그 신호는 연속적인 신호이며, 파동을 표시할 때 흔히 사용되는 사인함수가 대표적인 예이다. LP레코드나 카세트 테이프 같은 장치는 소리를 아날로그 신호 형태로 그대로 저장하는 장치이다. 반면 요즘 많이 사용되는 CD나 MP3같은 저장 방식은 아날로그 신호를 디지털 신호로 변화시켜 저장한다.
소리는 시간에 따라 변하는 아날로그 신호이므로, 소리를 시간 에 대한 함수 로 보았을 때, 이 신호를 시간축에 대해 디지털 신호로 바꾸는 과정은 다음과 같다.
① 아날로그 신호를 시간축에 대해 잘게 쪼개어 의 여러구간으로 나눈다.
② 각 시간 구간 에 대한 신호값 를 구해 이 값을 구간의 대표값으로 결정한다. 단 이다.
시간축에 대해 디지털화된 신호 는 주로 0과1의 이진수로 변환시켜 저장, 전송한다. CD의 경우 시간축에 대해 44.1kHz 의 샘플링 주파수를 가진 저장 형식으로, 이는 1초를 44100번 쪼개어 디지털화 했다는 의미이다. 즉, 연속적인 아날로그 신호를 1초당 44100개의 정보로 나누어 시디에 저장한 것이다.
디지털로 저장된 음악신호를 다시 재생하기 위해서는 위 과정과는 반대로 디지털신호를 아날로그 신호로 변환시켜야 한다. 시간 구간 에 대한 디지털 신호값이 일 때, 다음과 같은 과정을 거쳐 디지털 신호를 아날로그 신호로 변환한다.
① (,)를 가장 잘 나타낼 수 있는 연속함수 의 형태(직선함수, 2차함수 등)를 가정한다.
② 전 구간에 대해, 와 가 가장 잘 일치하는 연속함수 를 구체적으로 계산을 통해 결정한다. 이 과정에는 고속 연산이 필요하므로 컴퓨터를 사용하여 수행한다.
이 과정을 통해 얻어진 아날로그 신호가 증폭되어 스피커를 통해 나오면 소리를 들을 수 있게 된다.
<제시문 2>
18 세기 과학자들은 측정값들의 오차가 어떠한 규칙성을 가지는 분포형태를 나타낸다는 점을 발견하고, 여러 오차 발생 실험을 통하여 오차가 정규곡선이라 불리는 좌우대칭형의 분포를 따르고 있다는 사실을 도출하였다.
이러한 형태의 분포를 수학적인 함수로 체계화한 것이 바로 정규분포(Normal distribution)로서, 확률변수 에 대한 확률분포가 다음과 같은 확률밀도함수로 주어질 때, 는 '평균 와 분산 인 정규분포를 따른다'고 한다.
여기서 는 자연대수의 밑으로 2.7182… 인 무리수이다.
정규분포 곡선은 두 개의 모수 즉, 평균 와 분산 에 의해 그 모양이 정해지며, 이 분포를 기호 N(,) 으로 나타낸다. 정규분포 곡선은 다음과 같은 몇 가지 특징을 가지고 있다.
① 평균 을 중심으로 종모양의 대칭곡선이다.
② 평균, 중앙값, 최빈값은 모두 같다.
③ 평균 로 부터 멀어지는 양쪽 꼬리부분은 축에 접근한다.
④ 곡선과 축 사이 부분의 넓이는 1 이다.
⑤ 는 에서 최대이다.
실제 측정의 경우, 참값이 인 대상을 여러 번 측정하였을 때, 각 경우 측정된 측정값을 라 하면, 가 측정될 확률은 가 되며, 참값에 근접한 값을 측정하게 될 확률이 높게 나타난다.
논제 1 : 제시문 1에서와 같이 (,)의 디지털 신호가 주어졌고, 이 디지털 신호를 가장 잘 표시할 수 있는 연속함수가 형태의 직선 함수라고 가정해 보자. 제시문 2의 원리를 이용하여 (,)의 디지털 신호로부터 연속함수 의 와 를 결정하고자 한다. 타당한 접근 방법을 논술하시오.
<출제의도>
컴퓨터의 발전과 더불어 급속히 디지털화 되어가는 현대 문화에서 디지털은 아날로그와 어떤 차이가 있으며 디지털과 아날로그의 상호변환에 적용되는 원리를 이해하는지 파악하고자 출제하였다. 논제1은 디지털화 된 값을 측정치로 취급하여 이의 분포가 정규분포를 이룬다는 가정아래 최적화된 아날로그 신호에 대한 방정식을 구해내는 과정을 묻고 있다. 각종 실험이나 분석에서 많이 사용되는 최적화 과정에 대한 문제로 수학1의 통계 확률 단원과 연관되어 있다.
조현ㆍ최강학원 과학논술 강사
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