이번 호의 테마는 ‘실제 세계의 수리적 분석’이다. 가상 상황에 직면했을 때 합리적 대처방안 수립에 대한 기출문제를 다룬다. 어떤 특별한 상황에 봉착했을 경우 그 상황을 슬기롭게 해결하려면 상황 관련 자료를 수집하고 이를 모형화 해 수리적으로 분석하는 과정이 필요하다. 또 이런 과정은 앞으로 현상이 어떻게 변화할 것인가에 관한 정확한 추정을 가능하게 한다. 요즘 제반 학문에서 수학적 기법을 도입해 현상을 수리적으로 계량화하는 것도 이런 이유에서다.
<제시문>
한 구 모양의 혹성에는 북극과 남극에 과학기지가 있다. 어느 순간부터 시작해 한 시간마다 한 번씩 혹성이 내부폭발을 일으키고 그 순간마다 혹성의 부피가 8배씩 늘어나고 있다.
이 때 북극기지에 문제가 생겨 남극기지에서 북극기지로 구조대를 보내고 싶은데 구조차량의 속력은 최대 시속16km이다. 혹성이 막 팽창해 부피가 4,000㎦가 된 직후 남극기지 소장은 구조대를 출발시킬 것이냐 말 것이냐를 결정해야 한다.
24시간 안에 구조대가 도착하지 않으면 북극기지 대원 전원이 사망하게 된다. 차량의 속력은 유한한 데 비해 남극과 북극 사이의 거리가 자꾸 커지고 있어 구조대가 과연 북극에 도착할 수 있을지 조차도 의문시되고 있는 이 상황에서, 남극기지 소장은 위에 주어진 여러 정보들로부터 어떠한 결론들을 내릴 수 있는지 논리적으로 설명하시오.
<문제해설>
혹성이 구 모양이고 매 시간마다 혹성의 부피가 8배씩 늘어나므로 혹성의
반지름은 2배씩 늘어난다.
혹성의부피가4,000㎦인 순간의 반지름은 에서이다. 이때 이므로 이다.
남극에서 북극으로 일직선상으로 계속 직진하면 그 궤적은 원이 된다. 원
의 반지름을r 이라 하고 호의 길이를, 그때의 중심각을 θ라 하면즉 인 관계가있다.
혹성의 중심에서 남극과 구조대를 바라 본 사이 각을 θ라 하면 θ= π일 때
가북극에 도달할 때이고θ= 2π일 때가 다시 남극에 도달할 때이다. 차량이
최대속력으로 달린다 하면 =16이므로 위의 계산식에 의해 매시간 증가
하는 중심각의 변화량은 다음과 같다.
처음 1시간 동안 구조차량이 진행하는 거리에 해당하는 중심각은 이다.
두번째 1시간 동안은 진행거리는 같은데 반지름이 2배가 되므로 ,세번째1시간동안은 진행거리는 같은데 반지름이 또 2배가 되므로 ,마지막 24번째 1시간 동안은 진행거리는 같은데 반지름만 또 2배가 되므로 가 된다.
그러므로 24시간동안 진행했을 때변하는 중심각 θ는 아래 <수식> 과 같다.
따라서 24시간 이내에 구조차량은 북극기지에 도착할 수 있다.
하지만 이므로 남극기지로는 24시간 뿐 만아니라 영원히 돌아올 수 없다.
따라서 남극기지 소장은 구조대가 도착해 북극기지의 문제를 해결할 가능
성이 있으면 구조대를 보내고, 도착하여 문제를 해결할 가능성이 없으면 구
조대도 같이 희생되므로 구조대를 아예 출발시키지 않아야 할 것이다.
김상국 이슈&논술 수리 논구술대표
황용훈 이슈&논술수리 논구술선임연구원
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