짱구네 반은 모두 50명. 같은 생일을 가진 학생이 있을까 없을까를 놓고 내기가 붙었다. 짱구는 확률이 365분의50으로 승산이 반도 안 된다고 생각해 "생일이 같은 사람이 있다는 쪽에 내기를 걸 사람은 없다"고 단언했다. 과연 그럴까??생일이 같은 학생이 없을 확률은 3%밖에 안 된다. 이 문제는 생일역설(birthday paradox)이라는 이름으로 잘 알려진 문제다.
50명 중 1번 학생이 365일 중 임의의 날이 생일이다. 2번 학생이 1번 학생과 생일이 다르려면 그 날짜를 제외한 364일 중 하루를 택해야 한다.
즉 확률은 (365- 1)/365=1-(1/365)이다. 3번 학생이 1,2번 학생과 생일이 다르려면 역시 앞의 두 날짜를 제외한 363일 중 하루가 생일이어야 한다. 확률은 (365-2)/365=1-(2/365)다.
제각각 다른 날짜를 골라 50번째 학생이 앞의 49명과 다른 날짜를 고를 확률은 1- (49/365)가 된다. 이렇게 50명이 모두 생일이 다를 확률, 즉 365일 중 서로 다른 날짜를 뽑을 확률은 {1-(1/365)}x{1-(2/365)}x{1-(3/365)}x.x{1-(49/365)}가 된다.
계산해 보면 그 확률은 2.9%다. 생일 같은 학생이 있을 확률은 1에서 이를 뺀 값 즉 97%가 넘는다.
사실 반 학생이 23명만 있어도 최소한 2명의 생일이 같을 확률이 50%가 넘는다. 이 확률은 반 학생 수가 증가함에 따라 급속히 높아진다.
학생수가 30명이라면 생일이 같은 학생이 2명 이상 있을 확률은 약 70%가 된다.
한상근
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