직선 10개를 5개씩 서로 평행하도록 그리면 과 같다. 교점의 수는 5×5=25개이다. 이런 문제는 초등학교 2학년의 곱셈구구를 배울 때 나올 수 있다.
초등학교 4학년 이상 단계에서는 교점이 가장 많은 경우를 묻는 고난도 문제가 나온다. 직선 3개를 교점의 개수가 가장 많도록 그리면 가 되는데, 이 때 교점의 개수는 3개이다.
그렇다면 직선 10개를 교점의 개수가 가장 많게 그리면 교점은 몇 개가 될까? 먼저 어떤 경우에 교점의 개수가 최대가 될지 정리해보자. 첫째, 서로 만나야 교점이 생기기 때문에 평행한 직선이 있어서는 안 된다. 둘째, 하나의 교점에는 두 개의 직선만 만나야 한다. 문제는 직선의 개수가 10개일 때 위 두 조건을 만족하는 그림을 그리기가 어렵고, 그렸다 해도 교점을 세기가 어렵다는 점이다.
규칙을 찾아내기 위해 직선 개수를 1부터 하나씩 늘려가면서 교점이 몇 개인지를 세어 다음과 같은 표를 만들어 보자. 표를 보면 직선의 개수가 1씩 커지면 교점의 수는 늘어나는 수가 1씩 커지는 규칙을 발견할 수 있다. 문제를 단순화해 규칙을 찾아 해결하는 방법으로 초등학교에서 배우는 문제해결 방법 중 하나다.
좀 더 간단한 방법도 있다. 교점의 최대 개수는 악수하는 횟수를 세는 방법과 같다. 직선이 사람이고, 직선과 직선이 서로 만나서 생기는 교점이 악수라고 생각해보자. 10명의 사람이 서로 악수를 한 번씩 하면 한 사람이 9번의 악수를 하고 악수는 두 사람이 함께 하기 때문에 10×9÷2=45번이 된다.
직선이 아니라 다각형이라면 어떨까? 은 정사각형 2개를 교점이 가장 많이 생기도록 그린 것으로 교점이 모두 8개이다. 정사각형 10개를 교점이 가장 많게 그리면 교점은 몇 개일까? 매우 어려워 보이지만 이 역시 악수하는 횟수를 세는 방법으로 해결할 수 있다.
정사각형 2개의 교점이 8개라면 정사각형 10개를 그릴 때, 10개 중 어떤 정사각형 2개를 임의로 뽑으면 두 정사각형이 만나는 교점은 8개일 것이다. 다시 정사각형이 사람이고 교점을 악수라고 하면 10명의 사람이 서로 악수를 8번씩 하는 것과 같다. 따라서 (10×9÷2)×8=360번이 된다.
문제를 어떤 방법으로 해결할 것인지에 따라 과정은 복잡해지기도 하고 간단해지기도 한다. 하나의 개념을 분명하게 이해하는 것도 중요하지만 다른 것에 적용하고 응용하는 능력 또한 수학의 핵심이다.
천종현 소마사고력수학연구소장
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