4명이 서로 한 번씩, 한 사람도 빠짐 없이 악수를 하면 총 몇 번의 악수가 오가는지 알아내는 것은 경우의 수 문제다. 초등학교 교과과정에서 경우의 수 단원은 6학년 2학기에 나오지만 경시대회나 심화 문제집에서는 위와 같은 문제를 빠르면 2학년부터 볼 수 있다. 초등학교 수학에선 곱의 법칙, 합의 법칙이라든가 순열, 조합이라는 용어를 사용하지 않고, 그림을 그려 원리를 알아보면서 해결한다. 은 4명이 악수를 하는 총 횟수를 그림으로 표현한 것이다. 1~4의 번호 두 개를 연결한 선분의 개수 6개가 곧 악수한 횟수가 된다.
또 악수 횟수를 세는 문제는 둘이 짝을 지어 한 행동을 세는 방법을 알려준다. 선생님이 한 학생과 악수를 하고 악수를 몇 번 했는지 물어보면 한 번이라고 할 것이다. "너는 악수 몇 번하고 선생님은 몇 번 했니?" 하고 물으면 역시 한 번씩 했다고 대답한다. 이때 "너 한 번, 선생님 한 번 서 악수를 두 번 한 것 아니니?"하고 물어, 실제 악수는 한 번 이루어졌지만 입장을 바꾸어가며 세면 두 번이 된다는 것을 알릴 수 있다. 같은 원리로 4명이 악수한 횟수를 세어 보자. 각자 3번씩 총 4명 악수를 했으니 12번을 셀 수 있지만 악수는 혼자 하는 것이 아니라 두 사람이 해야 하는 것이니 실제로는 12번의 절반인 6번을 한 것이다.
같은 방법으로 운동경기 리그전의 경기수 문제도 풀 수 있다. '4팀이 참가한 어린이 축구대회 본선에서 서로 한 경기씩 하여 우승팀을 가리기로 했다. 이 축구대회의 본선은 모두 몇 경기를 하게 될까?'와 같은 문제다. 악수하기의 원리만 이해하고 있으면 3×4÷2=6 이라는 식을 세워 해결할 수 있다. 에서 선분 6개의 개수를 구하는 것과 같은 원리다.
대각선의 개수를 구하는 문제에도 같은 원리가 적용된다. 는 오각형의 대각선을 그린 것이다. 이는 '5명이 둘러 앉아 악수를 할 때 이웃하는 사람과는 악수를 하지 않으면 악수를 모두 몇 번 하게 될까?'와 같은 문제다. 모두 악수를 한다고 가정하면 5명이 한 사람에 4번씩, 총 20번이 되고 이를 둘로 나눠 10번의 악수를 하게 된다. 여기에 이웃한 사람과 악수하는 5번을 빼면 대각선의 개수와 같은 5번이 된다. 물론 처음부터 이웃한 사람과의 악수를 빼고 한 사람에 3번씩 악수를 한다고 생각해도 된다. 이 문제는 그림을 그려 푸는 것이 훨씬 쉽다.
악수하기에 대한 이해는 조합을 이해하는 기본이다. 악수의 총 횟수를 2로 나눠야 정답이 나온다는 사실을 이해하려면, 설명에 앞서 악수를 먼저 해보면 된다.
천종현 소마사고력수학연구소장
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