자동차에 사각형 바퀴는 왜 없는 걸까? 왜 맨홀뚜껑은 둥글까?일상속에서 쉽게 지나치는 여러가지 현상을 수학원리로 설명하는 이벤트가 열린다. 21일까지 국립서울과학관에서 초중등생을 대상으로 열리는 '수학과 친구되자'가 그것. 중등 수학교사들의 모임에서 발전한 (주)수학사랑이 개최하는 이번 행사는 '수학은 재미없고 딱딱한 것'이라는 고정관념을 깨고 관찰과 체험을 통해 이론을 익히게 하는 수학체험전이다. 행사에서 소개된 재미있는 수학원리를 소개한다.
맨홀뚜껑이 둥근 이유는(그림1).
삼각형이나 사각형으로 맨홀뚜껑을 만들면 어떻게 되는 걸까. 재는 위치에 따라 폭이 달라지는 삼각형 사각형으로 맨홀뚜껑을 만들면 뚜껑과 구멍의 폭 차이로 구멍에 빠지게 된다. 어디에서 재어도 폭이 같은 도형은 원밖에 없다. 자동차 바퀴가 원인 것도 물론 굴러가기 쉽다는 이유도 있지만 정폭도형이라 굴러가면서 높낮이가 일정하게 유지되는 것도 이유이다.
삼각형 사각형을 이용해서도 정폭도형을 만들 수 있다. 각 변을 중심으로 호를 만들면 완전한 구는 아니지만 폭이 똑 같은 도형이 된다. 사각 오각 정폭도형은 물론 맨홀 뚜껑으로 쓰일 수 있다.
매가 토끼를 잡을 때 왜 직선으로 날아오지 않고 곡선에 가깝게 비행할까(그림2).
경사면에서 공을 굴릴 때 직선, 포물선, 사이클로이드, 원 모양의 곡선 가운데 어디에서 공이 가장 빨리 떨어질까. 사이클로이드는 자전거 바퀴가 굴러가면서 만들어내는 곡선. 공이 떨어지는 속도는 최단거리인 직선이 가장 빠를 것 같지만, 실제로는 사이클로이드에서 가장 빨리 떨어진다. 평지에서는 거리가 가장 짧은 길을 가는 것이 시간이 가장 적게 걸린다.
그러나 높이가 있는 경우 지구가 잡아당기는 중력을 감안하면 거리가 짧다고 모두 빠르지는 않다. 원의 경우는 중력가속도는 크지만 거리가 너무 멀기 때문에 사이클로이드보다 늦다. 사이클로이드는 거리와 중력이 가장 잘 조화된 멋진 곡선이다. 독수리나 매가 땅 위의 토끼를 잡을 때 직선으로 날아가지 않는다. 약간 아래로 내려오다가 목표물을 향해 간다. 아마 사이클로이드 곡선에 가깝게 비행하도록 진화한 때문인지 모른다.
비스듬하게 경사를 이룬 기와지붕의 처마가 직선이 아니라 곡선으로 이루어져 있는 것도 보기에 멋진 이유도 있지만 빗물이 가장 빨리 떨어지는 구조이기 때문이다.
삼각형 피자조각을 통해 배우는 숫자들의 배열(그림3).
고기 야채 치즈 등으로 토핑하는 피자대신 숫자로 토핑한 피자를 만들어보자. 꼭지점과 양 변에 숫자 1을 배열한 뒤 2행에 1과 1을 더해 2를 적어놓고 아래 행에는 2행의 1과 2를 더해 3을 각각 올려놓는다. 이런 식으로 아래 행까지 숫자를 더해 나열하면 다양한 숫자가 나열된다.
이렇게 만들어지는 삼각형을 숫자들 사이에 규칙을 찾아낸 프랑스의 수학자 이름을 따 '파스칼의 삼각형'으로 부른다. 각 행의 숫자를 더하면 2의 제곱승이 나온다. 0행의 1은 2의 영승, 1행의 1+1은 2의 1승, 2행의 1+2+1=4는 2의 제곱승이다. 즉 파스칼 삼각형의 n행의 합은 2의 n승이 된다.
숫자들 속에 아름다운 도형의 미가 있고 규칙을 찾아가면서 숫자에 대해 친근감을 갖게 하는 내용이다.
/김동선기자 weeny@hk.co.kr
기사 URL이 복사되었습니다.
댓글0